任意角度单摆的周期近似公式

2023-01-31 06:03:21 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《任意角度单摆的周期近似公式》，欢迎阅读！
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在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念:第一类不完全椭圆积分:F(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一类完全椭圆积分

K(x)=F(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示对f(x)在区间[a,b]上的定积分)

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为: d²θ/dt²+g/l*sinθ=0

令ω=dθ/dt,上式改写成: ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ+c

给定初始条件θ=α(0≤α≤π),ω=0,则其特解为: ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))

所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2)) 做变换sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,则

t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*F(φ,sin(α/2))

以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2 那么T=4t=4

√(l/g)*F(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*K(sin(α/2)),此处的α就

是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响

单摆的近似公式为T=2π√(l/g),精确公式为T=4√(l/g)*K(sin(α/2)),记相对误差为e(α)

那么e(α)=(2K(sin(α/2))-π)/(2K(sin(α/2))

用Maple计算得到: e(1)=0.0019% e(2)=0.0076% e(3)=0.0171% e(4)=0.0305% e(5)=0.0476% e(6)=0.0685% e(7)=0.0933% e(8)=0.1218% e(9)=0.1542% e(10)=0.1903% e(11)=0.2303% e(12)=0.2741% e(13)=0.3217% e(14)=0.3730% e(15)=0.4282% e(16)=0.4872% e(17)=0.5500%

e(18)=0.6165% e(19)=0.6869% e(20)=0.7611%

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