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等比数列的定义和通项公式 一、等比数列的定义和通项公式 1.等比序列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。 （1） 等比序列中的任何项都不是0，公共比率为$Q≠ 0 $. （2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。 2.等比序列的通项公式 （1）通项公式 如果比例序列${a_n}$的第一项是$a_1$，公共比率是$q$，那么这个比例序列的一般项公式是$a_n=a_1q^{n-1}（a_1，q≠0)$。 在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。 注：通过$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，您可以启动$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$ 所以有：①在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。 ② $a在已知的比例序列${a_n}${M$和$a_n$中，可以使用$\frac{a_n}{a_M}=q^{n-M}$来找到公共比率。 （2）等比数列中项的正负 对于比例序列${a_n}$，如果$Q<0$，则${a_n}$中正负项之间的间隔，如序列1、-2、4、-8、16、$\cdots$；如果$Q>0$，则序列${a_n}$中的所有项都具有相同的编号。总之，等比序列的奇数项必须有相同的符号，偶数项也必须有相同的符号。 3、等比中项 如果插入一个数字$g（g≠ 0）$在$a$和$B$之间，因此$a$，$g$，$B$处于等比序列中，$g$被称为$a$和$B$等比的中间。 若$g$是$a$与$b$的等比中项，则$\frac{g}{a}=\frac{b}{g}$，即$g^2=ab$，$g=±\sqrt{ab}$。 ① 任何两个数都有相等差的平均项，但不一定是相等比率的平均项。只有当两个数字具有相同的符号且不为0时，才会出现等比中值。 ②两个数$a$，$b$的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个。 注：（1）只有两个非零且符号相同的数字具有等比中值项，并且有两个等比中值项，它们彼此相反。（2） 在等比数列${a_n}$中，从第2项开始，每一项（有限等比数列的最后一项除外）都是前一项和后一项之间等比的中间项，即，$a^2_n=a{n+1}a{n-1}（n\geqslant2，n）∈\mathbf{n}^*）$ 4、等比数列与函数的关系 比例级数$\{a_n\}$\u n=a_1q^{n-1}（a_1，Q≠ 当$Q>0$和$Q时，$可以重写为$a_N=\frac{a_1}{Q}·Q^N$≠ 1$，比例级数$\{a_n\}$的映像是指数函数$y=\frac{a_1}{Q}·Q^x$映像上的一些孤立点。 （1）当$\begin{cases}a_1>0,\\q>1\end{cases}$或$\begin{cases}a_1<0,\\0时，等比数列$\{a_n\}$为递增数列；
（2） 当$\begin{cases}a_1>0、\\0或$\begin{cases}a_1当1<0、\\Q>1\end{cases}$时，比例序列$\{a_n\}$是递减序列；
（3）当$q=1$时，等比数列$\{a_n\}$为常数列（这个常数列中各项均不等于0）； （4） 当$Q<0$时，比例序列$\{a_n\}$是一个摆动序列（所有奇数项都有相同的符号，所有偶数项都有相同的符号，奇数项与偶数项有不同的符号）。 5、等比数列的性质
设${a_n}$为等距序列，公共比率为$q$，则
（1）数列${a_n}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n=a_2a{n-1}=a_3a{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。
（2） 如果$M$，$n$，$p$（M，n，p∈ \ mathbf{n}^*）$是一个等差序列，$a_m$，$a_n$，$a_P$是一个等比序列，也就是说，$a^2_n=a_ma_P$
（3）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{n}^*)$，则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地，若$m+n=2p$，则$a_ma_n=a^2_p$。
（4） 序列${λa_n}$（$λ$是不等于0的常数）或公共比率为$q$的等比序列；
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2023-02-27
