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有理数知识点总结（2016） 第一章 有理数 1.1正数和负数 一、概念 1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号） 2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数 说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。 3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界 二、实际应用 在解决 一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。 例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负 超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负 增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0 三、易错易误点 1、-a一定是负数么？ 答案：不一定，需要分类分析 解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数 因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。 2、海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数：0和负数 非负数：0和正数 1.2 有理数 一、概念 1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。 2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926… 它不能化成分数形式。 二、分类 1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） 2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数） 三、数轴 1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线 规定三要素——原点，正方向，单位长度 注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！） （1）先画一条直线 （2）在直线上任取一点，作为原点，记为0 （3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3、与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”； 但数轴上的点不都来表示有理数。 四、相反数（重点） 1、概念 （1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 （2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。 2、表示方法以及多重符号的简化 （1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数(即正数、负数、0) 当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数） 当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数） 当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0） （2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉 ~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无论有多少个“—”，化简后仍是0 五、绝对值 1、概念 （1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。 （2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 2、做题时需要慎重考虑0的情况。 六、有理数大小比较 1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。 2、两个负数，绝对值大的反而小。 3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大 同负，绝对值大的反而小 异号——正数大于负数 一数为零——正数＞0，负数＜0 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法 一、法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3、互为相反数的两个数相加得0； 4、一个数同0相加，仍得这个数。 二、运算律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b 1.3.2有理数的减法 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b) 注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数 1.4 有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法 一、法则 1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2、任何数同0相乘，都得0。 二、推广 1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 2、几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。 三、运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba 2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b 3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac 四、倒数 1、乘积是1的两个数互为倒数。当a≠0时，与1/a互为倒数；当m≠0，n≠0时n/m与m/n互为倒数 2、注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0 3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小； 小于-1的数的倒数比本身大。 1.4.2 有理数的除法 一、法则 1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。 二、化简 1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。 三、混合运算 1、乘除混合运算 （1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律运算 （2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。 （3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。 2、加减、乘除混合运算 遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。 1.5有理数的乘方 1.5.1乘方 一、乘方的意义 1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在an中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。 3、因为an就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。 二、乘方运算的性质 1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数， 2、正数的任何次幂都是正数，3、0的任何正整数次幂都是0。 三、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 1.5.2科学记数法。 一、概念 把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中a是整数位只有一位的数，n是原数的整数位减1.即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。 1.5.3近似数 一、概念 四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。 二、说明 一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 本文来源：https://www.dywdw.cn/8cab9306fab069dc512201c4.html
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2022-12-29
