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有理数知识点总结（ 2016 ） 第一章 有理数 1.1 正数和 数 一、概念 1 、正数：大于零的数，有 根据需要在正数前面加 2 、 数：在正数前面加上 “—（” 号）的数 “+”（正号） 明：一个数前面的 “+”“—叫”做它的号，其中 “+”有 可以省略，但仍然表示正数， 有 “+”是 了 它是正数，但 “—”号是 不能省略的。 明：关于 0 的 —— 数，自然数，有理数，整数，非正数，非 数，偶数， 3 、0 既不是正数也不是 数，它是正 数的分界。 相反数是本身，没有倒数， 是本身，正 数分界 二、 用 在解决 一些 ， 可以 定具有相反意 的量的正 。 例如：收入 正， 支出 ， 收支平衡 0 加分 正，扣分 ，不加不扣 0 盈余 正， 空 ，收支平衡 0 零上 正， 零下 ， 0 逆 正， 0 水位上升 正，水位下降 ， 0 分界 0 向北（ ）走 正，向南（西）走 ，原地不 正，低 ， 准 水平面 0 地上 正，地下 ，地面基准 超 0 高于平均分 正，低于平均分 增加 正，减少 ，不增不减 0 海平面以上 正，以下 ，海平面 三、易 易 点 1 、-a 一定是 数么？ 答案：不一定，需要分 分析 解析：当 a 大于 0 ， -a 就是 数；当 a 等于 0 ， -a 0 的存在。 非 数： 0 和正数 0 ；当 a 小于 0 ， -a 是正数 因此， a 不一定是正数也不一定是 数，判断字母的正 ，需要分 ，也不能忽略 2 、海拔 0 米并不表示没有海拔，而是 海拔中海平面的平均高度 1.2 有理数 一、概念 1 、有理数：正整数， 0 米。 3 、非正数： 0 和 数 0， 整数，正分数， 分数都可以写成分数（含有限小数和无限循 小数）的形式， 的数称 有理数。 =3.1415926⋯ 它不能化成分数形式。 2 、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循 小数π 二、分 1 、按定 分 ；有理数分 整数（正整数、 0、 整数）；分数（正分数、 分数） 、 0 、 有理数（ 整数、 分数） 2 、按性 符号分 ；有理数分 正有理数（正整数、正分数） 三、数 1 、定 ：数 是一条可以向两端无限延伸的直 需要 定的。 2 、画法：（必 用直尺！） 定三要素 ——原点，正方向， 位 度 注意 “ 定 ”二字，是 三要素是根据 （ 1 ）先画一条直 （ 2 ）在直 上任取一点，作 原点， 0 （3 ） 取适当的 度作 位 度，从原点向右（向左）每隔一个 位 度取一点。 上的点表示，通常 四、相反数（重点） 1 、概念 3 、与有理数的关系 所有的有理数都可以用数 “正右 左，原点中 ”； 但数 上的点不都来表示有理数。 （1 ）几何定 ：在数 上分 位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互 相反数。 （2 ）代数定 ：只有符号不同的两个数叫做互 相反数。例如， 2 、表示方法以及多重符号的 化 数的相反数是 数） 0 2 和 -2 ；0 的相反数是 0 。 0) 当 a 大于 0 ， -a 小于 0 （正 0 ） （ 2 ）多重 （ 1 ）a 的相反数是 -a ， 里 a 是任意有理数 ( 即正数、 数、 当 a 小于 0 ， -a 大于 0（ 数的相反数是正数） “—，”可以把 “—一”起去掉 ~ 2 / 5 ~ 当 a 等于 0 ， -a 等于 0 （0 的相反数是 符号化 方法：正数前有偶数个 “—，”化 后仍是 五、 1 、概念 正数前有奇数个 “—”，最后只留一个 “—” 0前无 有多少个 （1 ）几何定 ：一个数 a 的 就是数 上表示数 a 的点与原点的距离， 作｜ 0， 数的 是它的相反数。 a｜， 作 a 的 ， 不能是 数。 （2 ）代数定 ：正数的 是它本身， 2 、做 需要慎重考 六、有理数大小比 0 的情况。 0 的 是 1 、具体方法：将各数在同一条数 上表示出来，那么从左到右的 序就是从小到大的 序，即 2 、两个 数， 大的反而小。 —— 数＜ 0 ＜正数。 3 两数大小：同号 ——同正，绝对值大的数大 同负，绝对值大的反而小 异号 ——正数大于负数 一数为零 ——正数＞ 0，负数＜ 0 1.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法 一、法则 1 、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2 、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3 、互为相反数的两个数相加得 0 ； 4 、一个数同 0 相加，仍得这个数。 二、运算律 1 、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a (a+b)+c=(a+c)+b 2 、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 1.3.2 有理数的减法 法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b) 注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数 1.4 1.4.1 有理数的乘除法 有理数的乘法 一、法则 1 、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2 、任何数同 0 相乘，都得 0 。 二、推广 1 、几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 2 、几个数相乘，有一个因数为 0 ，则乘积为 0。 三、运算律 1 、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 ab=ba 2 、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 (ab)c=(ac)b a(b+c)=ab+ac 3 、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 四、倒数 1 、乘积是 1 的两个数互为倒数。当 2 、注意： 0 没有倒数，做题时应当注意分母不为 小于 -1 的数的倒数比本身大。 1.4.2 有理数的除法 a≠0时，与 1/a 互为倒数；当 m≠0，n≠0时 n/m 与 m/n 互为倒数 0 3 、-1 的倒数是 -1 ； 0~ -1 之间的数的倒数比本身小； 一、法则 1 、除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 个不等于 0 的数，都得 0， 0 不能做除数。 2 、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一 二、化简 1 、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 三、混合运算 2 、0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 。 1 、乘除混合运算 （1 ）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分， 运算 （ 2 ）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。 则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和， 再利用分配律 （3 ）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。 2 、加减、乘除混合运算 1.5 有理数的乘方 1.5.1 乘方 遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。 一、乘方的意义 1 、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在 2 、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数 乘法运算计算乘方运算。 二、乘方运算的性质 1 、负数的奇次幂是负数， 三、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序 1 通常省略不写。 3 、因为 a 就是 n 个 a 相乘，所以可以利用 a n 中， a 叫做底数， n 叫做指数。 n负数的偶次幂的正数， 2 、正数的任何次幂都是正数， 3 、0 的任何正整数次幂都是 0 。 2. 同级运算，从左到右进行； ： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 3. 如有括号， 先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 1.5.2 科学记数法 。 n一、概念 把一个大于 10 的数表示成 ax10 的形式（其中 a 是整数位只有一位的数， 正整数），这种计数方法叫做科学记数法。 n 是原数的整数位减 1. 即 1≤｜a ｜＜ 10 ， n 是 1.5.3 近似数 一、概念 四舍五入的近似数，从左边第一个非 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 二、说明 一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 本文来源：https://www.dywdw.cn/b5efe65068d97f192279168884868762cbaebb63.html
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2023-12-26
