九年级数学上册24圆小专题(八)教材p90习题第14题的变式与应用练习(新版)新人教版

2024-03-21 22:12:22 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用

【例】 (人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判定△ABC的形态，并证明你的结论．

1．如图，延长BP至E，假设∠EPA＝∠CPA，判定△ABC的形态并证明你的结论．

2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB＝DC.求证：AD是△ABC外角∠EAC的平分线．

3．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD.

4．如图，△ABC内接于⊙O，P为弧AB上异于A，B两点的一动点时，当△ABC满足什么条件时，PA能否平分∠BPC的外角∠CPE.假设能，请证明，假设不能，请说明理由．

5．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？

(2)如图2，假设AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时，AE与△ABC的两边AB，AC又有怎样的关系呢？

6．如图，平面直角坐标系中，O′为y轴上一点，⊙O′交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA与FH的比值是否为定值？并说明理由．

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7．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.

(1)求证：BD＝DC＝DI；

(2)假设⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．

参考答案

例证明：因为∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，

又因为∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°. 于是∠ACB＝60°.所以△ABC为等边三角形．

1.△ABC是等腰三角形，理由：因为∠CPA＝∠ABC，四边形APBC是圆内接四边形，所以∠EPA＝∠ACB.因为∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形． 2.证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又 ∠DAE＋∠DAB＝180°， ∴∠DCB＝∠EAD. ∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB. ∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠EAD. ∴AD平分∠EAC.

3.(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC是等边三角形．

(2)连接OB、OC.可得∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°. ∵OB＝OC，

1

∴∠OBD＝∠OCD＝×(180°－120°)＝30°.

2∵∠ODB＝90°， 1

∴OD＝OB＝4.

2

4.当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由： ∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，∠ACB＋∠APB＝180°， ∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，

∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE. 1

5.(1)AE＝(AB＋AC)．

2

理由：在AB上截取AF＝AC，连接BD、CD、FD. ∵∠FAD＝∠CAD，AD＝AD，

∴△FAD≌△CAD.于是FD＝CD.又∵BD＝CD，

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