2021年全国初中数学联赛试题

2022-03-23 08:28:12 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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2021年全国初中数学联赛试题

一、选择题（每小题7分，共42分）

1、a，b，c为有理数，且等式ab2c3526成立，则2a+999b+1001c的值是（）（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定

2、若ab1，且有5a2+2001a+9=0及9b22001b50，则a的值是（）

b

（A）9（B）5（C）2001（D）2001

5

9

5

9

3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（）（A）23（B）23（C）03（D）32

4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情形中，△ABD∽△ACB不一定成立的情形是（）

（A）AD•BCAB•BD （B）AB2AD•AC （C）∠ABD=∠ACB （D）AB•BCAC•BD

2

5、①在实数范畴内，一元二次方程ax2bxc0的根为xbb4ac；②在△

2a

ABC中，若AC2BC2AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和A1B1C1中，a，b，c分别为△ABC的三边，a1,b1,c1分别为A1B1C1的三边，若aa1,bb1,cc1，则△ABC的面积S大于A1B1C1的面积S1。以上三个命题中，假命题的个数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

6、某商场对顾客实行优待，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优待；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优待，超过500元的部分则给予八折优待。某人两次去购物，分别付款168元和423元；假如他只去一次购物同样的商品，则应对款是（）（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为。

3、已知x,y是正整数，同时xyxy23,x2yxy2120，则x2y2= 。 4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，那个正整数为。

三、解答题（共70分）

1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线yaxb上

横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分）

（1）证明：若x取任意整数时，二次函数yax2bxc总取整数值，那么2a,ab,c差不多上整数；

（2）写出上述命题的逆命题，并判定真假，且证明你的结论。（25分）

3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判定△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。

HDF A

A E θ BODECG BCF解答题：

1、如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH差不多上锐角。已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S。

（1）求证：sinθ=2S；

kl

（2）试用k,l,S来表示正方形的面积。

2、求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程x23ax2b0，x23bx2c0，

x23cx2a0的所有的根差不多上正整数。

3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。求证：（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF

4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证：PM•PN＝PR•PS

A

B

OC

D

l

M

NPRS

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