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单位根群 2008年06月20日 星期五 11:32 n次单位根对乘法满足 1.封闭性 2.结合律 3.有单位元 4.任何n次单位根有逆元 则全体n次单位根对复数中乘法构成一个群，称n次单位根群 同时这个群中元素满足5.交换律，从而n次单位根群是个交换群 又注意到n次单位根群中存在n次原根，从而n次单位根群是循环群 性质：设εk是一个n次单位根(k∈Z),则εk是n次单位原根等价于 (k,n)=1，即k与n互素 证明： 若(k,n)=1，则下列n个数 k，2k，…，nk 被n除后必定互不相同。这是因为如果后h，l使得1≤h且hk与lk被n除后余数相同，则lk-hk是n的倍数，但 lk-hk=(l-h)k
中k与n互素，0，当然不能被n整除，从而(l-h)k不可能是n的倍数，与原假设矛盾。据性质二的推论，
εk，ε2k，ε3k，。。。，εnk
互不相同，即恰恰构成了全部n次单位根，但这n个数有可以写成 εk，εk2，εk3，。。。，εkn 所以这时εk确为n次单位原根 若(k,n)≠1，则εk的各次方幂
εk，εk2，εk3，。。。，εkn
中不可能互不相同，从而εk不是n次单位原根。这是因为k，n不互素即它们的最大公约数d>1，于是可设 n=md，k=ld 则εkm=εldm=(εld)n=εlmd=εln=1 即至少有εkm和εkn相等都为1
推论：当p是素数时，任何一个不等于1的p次单位根εk都是p次原根 εk≠1相当于k不是p的倍数，而当p是素数时，任何k若不是p的倍数就一定与p互素
正因数
正因数指的是一个数的正数因数,因数可以是任何数,而正因数必须是正整数。如:12的因数有无数多个(除0外全是),正因数也有无数多个。 最小正因数是1（因为因数必须是整数）
因数和约数的区别：
约数和因数既有联系，又有区别，这主要表现在以下三个方面。
（1） 约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。
（2） 约数只能对在整数范围内而言，而因数就不限于整数的范围。 例如：6×8=48。既可以说6和8都是48的因数，也可以说6和8都是48的约数。
又如：0.9×8=7.2。虽然可以说0.9和8都是7.2的因数，却不能说0.9和8是7.2的约数。
从这一点来看，一个数的因数有可能大于它本身，而约数不能大于这个数的本身。
（3） 对于一个整数，凡能整除它的数，都是这个整数的约数。 例如：1、2、4、8、16都能整除16，因此，1、2、4、8、16也都是16的约数。而当一个数被分解成两个或几个数相乘时，因数的个数就受到了限定。
又如：2×8=16。只能说2和8是16的因数，而不能说1、2、4、8、16都是的因数，因为1×2×4×8×16的结果，并不等于16. 约数与因数
约数和因数的区别有三点：
1、数域不同。约数只能是自然数，而因数可以是任何数。
2、关系不同。约数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在约数关系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的约数，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的约数。因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。如：8×2=16，8和2都是积16的因数，离开乘积算式就没有因数了。
3、大小关系不同.当数a是数b的约数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b。 一般情况下，约数等于因数。
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