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简单命题与复合命题的区分 文／李三平 罗增儒 高一新教材增加了“简易逻辑”一节内容，在教学过程中，教师和学生都不同程度的存在一些困难和问题，如针对“简单命题与复合命题”的教学，在对二者的区分上有许多不同的看法．即使在中学数学教育类杂志上，对此问题的争论也很多，难以形成统一的认识，我们认为，这主要是因为缺乏区分的标准所致． 1 定义的理解 据教科书的定义，把不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题（有逻辑书称为原子命题）．认为简单命题是逻辑演算最基本的单位，应被看做是一个不可再分割的整体．例如，“3是12的约数”、“0．5是整数”，它们都是简单命题． 由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题．例如，“20可被4或5整除”、“平行四边形的对边相等且平行”、“2非素数”，上述三个命题都是复合命题，因为它们分别含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”． 2 几个争论较多的例子 从简单命题和复合命题的定义到判断与区分，似乎是很容易理解和掌握的，其实并不然，请看下面的例子． 例：说明下面的命题是简单命题，还是复合命题： （1）“明天上午我去教室或者去图书馆”； （2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”； （3）“4的平方根是2或-2”； ２ （4）“方程ｘ－5ｘ＋6＝0的两根是ｘ＝2或ｘ＝3”； （5）“实数的平方是正数或0”． 这是几个在杂志上出现次数较多、争论也较多的命题．以命题（3）为例． 第一种看法，认为命题（3）是简单命题．这是因为，若是复合命题，则有 p：4的平方根是2； q：4的平方根是-2； p或q：4的平方根是2或-2． 由于这里的p及q都是假命题，由真值表可知，将p或q看成是由p及q用“或”联结的形式是不正确的．据此认为命题（3）是简单命题（这里先不涉及由p及q通过“或”联结后的形式是否正确）． 第二种看法，认为命题（3）是复合命题．先将命题（3）变更为其等价形式，可写为：“4的一个平方根是2或4的一个平方根是-2”．这时便有 p:4的一个平方根是2； q:4的一个平方根是-2； q或p：4的一个平方根是2或4的一个平方根是-2． 由于“p或q”是命题（3）的等价命题，据此有文章认为命题（3）是复合命题． 与第二种看法类似，有作者认为命题（3）等价于“4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2”，因此就有 p:4的平方根可能是2； q:4的平方根可能是-2； q或p：4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2． 由于命题（3）和这时的“p或q”等价，所以命题（3）是复合命题． 那么，命题（3）到底是简单命题还是复合命题呢? 3 区分和判断的标准 对于命题（3）的区分之所以产生争论，我们认为，主要是因为缺乏区分和判断的“标准”而导致的． 在数学中对某个问题的讨论，一方面可从形式出发，另一方面也可从实质出发．例如，依照根式的定义应称 为根式，这其实是从形式出发的，经过化简，可得其结果为4（是实质上的），是一个整式，尽管如此，我们仍然说它是一个根式．又如，在数学中引入了大量的符号： 等，这是为了讨论的方便、简洁而引入的， 但更为重要的是对其实质的理解和掌握． 我们认为，以“实质”作为判断和区分一个命题是简单命题或复合命题的“标准”是适当的．一个最主要的原因是，这有助于学生对命题本身的理解和掌握，以此标准，我们说，命题（3）是复合命题．第一种看法，是从形式出发的；第二种看法，是从实质出发的．这里要说明的是，命题（3）并不等价于“4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2”．“可能”一词出现在命题中，使得在简易逻辑的范围内无法判断其真假，像这种包含“必然”，“可能”等逻辑常项的逻辑系统叫“模糊逻辑”，也就是说，包含“必然”、“可能”等逻辑常项的命题，在简易逻辑中不能再看成命题．类似地，“不一定是”、“有可能是”等词语出现在命题中，也同样超出了简易逻辑的讨论范围． 下面对例中的其他几个命题．依据实质为“标准”进行区分和判断． 分析：命题（1）和（2）都是简单命题．尽管两个命题分别含有“或”、“且”，但它们不是逻辑联结词，而应看做自然语言中的连词． 逻辑联结词“或”、“且”与其在自然语言中的意义相似，但并不完全相同．在简易逻辑中，“或”是“可兼或”（这由真值表容易知道），而在自然语言中却常取“不可兼或”的意义．命题（1）中的“或”是“不可兼或”，因为“我去教室”和“我去图书馆”都为“真”在现实中是不可能的，所以命题（1）是简单命题．命题（2）中的“且”与自然语言中的“和”的含义相同，即只有当“一组对边平行”及“相等”同时具备时，四边形才是“平行四边形”，是不能进行分割的，正像“小王和小强是好朋友”中的“和”一样，所以，命题（2）也是简单命题． 命题（4）的条件和结论都是开语句，与简易逻辑中的命题略有不同，但我们在此不作２严格区分，仍将其看做简易逻辑中的命题．命题（4）本质上等价于“方程ｘ－5ｘ＋6＝0２有一个根是ｘ＝2或方程ｘ－5ｘ＋6＝0有一个根是x=3”．因此，命题（4）是复合命题． 命题（5）也是复合命题，其完全的表述为“所有实数的平方是正数或0”，这是一个含有“量词”的命题，它与简易逻辑中讨论的命题又有不同．关于此种类型的命题我们将另文讨论． 以命题的实质作为区分和判断的“标准”，其中一个重要的步骤就是要先将命题变更为其等价命题，这个区分和判断的标准也适合一些不显含逻辑联结词的命题形式． 例如，“3≥2”、“24既是8的倍数，也是6的倍数”、“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”，这三个命题是不显含逻辑联结词的．但由于它们分别等价于“3＞2或3＝2”、“24是8的倍数且是6的倍数”、“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”，所以，它们仍都应看做是复合命题． 参考文献 1 人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第一册（上）教师教学用书．北京：人民教育出版社，2000 2 龚雷．关于“命题”的学习与思考．中学数学教学参考，2002，9 3 徐彦明．试析关于命题的困惑．中学数学教学参考，2002，9 4 秦庆尧，张德东．“简易逻辑”教学中存在的问题．中学数学教学参考，2002，9 本文来源：https://www.dywdw.cn/ec5b2a1ced06eff9aef8941ea76e58fafab04599.html
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2022-04-21
