乘法公式与整式除法

2022-05-28 04:10:37 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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【#第一文档网# 导语】以下是®第一文档网的小编为您整理的《乘法公式与整式除法》，欢迎阅读！
整式,除法,乘法,公式

让更多的孩子得到更好的教育

乘法公式

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 通过运算多项式乘法，探索得到平方差公式、完全平方公式，培养认识由一般法则到特殊法则的能力。  通过动手、观察并发现平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。  初步学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算。

重点难点：

 重点：理解平方差公式、完全平方公式，运用公式进行计算。  难点：对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。

学习策略：

 通过联系整式的乘法法则，理解乘法公式的由来，并加以记忆，通过一定量的练习，达到正逆灵活运用公式的能力。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）多项式乘多项式的法则是：，公式表示为：。（二）计算：(a+m) (a+n)= 。

（三）计算：(x+y) (x-y)= ；(x+y) (x+y)= ； (x-y) (x-y)= 。

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知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#221904 #tbjx5#223566

知识点一：平方差公式

两个数的与这两个数的的，等于这两个数的。

公式表示为：。请你注意：

（一）公式的推导：

方法一：请看以下两个图形

如图1，在边长为a的正方形中截去一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个新的长方形，如图2所示。在图2中长方形的面积为，在图1中阴影部分(剩余部分)的面积为，由于两图中的面积相等，故有

方法二：由多项式乘法法则可得(a＋b)(a－b)＝（二）对公式的说明：

（1）结构特点：等号左边是两个项式相乘，并且它们分别是两个数的与这两个数的。等号右边是乘积中两数的；

（2）在两个因式中：一项相同，另一项互为。

知识点二：完全平方公式

两数（或）的平方，等于这两个数的和再加上（或减

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去）。

公式表示为：。请你注意：

（一）公式的推导：

方法一：一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图3所示）

图3

整体看：边长的大正方形，S_________ 部分看：四块面积的和，S____________________ 根据面积相等，可得：根据上式计算ab2

ab

2

a____2

a2

2________________________方法二：用多项式乘法法则计算ab2

，ab2

同样可得到：

（2）对公式的说明：

等号右边：首末两项总是的，而中间项的正负与等号左边的对应一致；等号左边是：两个数的和或差的。

知识点三：平方差公式与完全平方公式

(a＋b)(a－b)＝a2－b2； ab2

a22abb2

注：（1）公式中的字母a、b可以表示，也可以表示还可以表示一个，只要在形式上符合公式的都可以应用公式。

（2）有些多项式相乘不能直接用公式，但是通过适当后可以用公式。

知识点四：同底数幂的除法

法则：同底数幂相除，不变，指数．

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公式：aman_　　　__(a0，m,n均为正整数，且mn)．要点诠释：

（1）公式左边是同底数的幂且是的关系，右边是一个，且底数是左边幂的底数，指数是左边两个幂的指数的；

（2）公式可以逆用，即可以从_____边计算到____边；（3）此公式也适用于三个或三个以上的同底数幂相除，如

amanak

_　　　　____(m,n,k为正整数，mnk)；

（4）要和同底数幂乘法区分开来，共同点是不变：不同点是同底数幂的乘法性质中指数，同底数幂的除法性质中指数。

知识点五：任何不等于0的数的都等于1，即a0_　　_(_　_0)。

注意：底数不为，指数为，其结果为．

知识点六：单项式除以单项式

法则：单项式除以单项式，把系数和同底数幂分别作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为的一个因式．要点诠释：

（1）系数相除作，注意单项式的系数包括它前面的；（2）同底数幂相除作为商的一个因式；

（3）只在被除式中含的字母，则连同指数作为______的一个，不要漏掉。

知识点七：多项式除以单项式

法则：多项式除以单项式：先把多项式的除以这个，再把所得的相加。

公式：（am+bm+cm）÷m= = 要点诠释：

（1）多项式中的“每一项”是指具有性质的项；

（2）所得商仍是，项数与多项式(无同类项)的项数，在相

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除过程中不要漏除；

（3）商的符号的确定与去括号法则基本一致，如果除式的符号为正，那么商中各项符号与原多项式符号一样，如果除式的符号为负，那么商中各项符号与原多项式的各项项符号都．

经典例题-—自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#221904 #jdlt0#223566

类型一：平方差公式的应用

例1．计算（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(－2x2－5)(2x2－5)

思路点拨：（1）中可以把看作a，看作b．再根据公式计算；（2）两个因式中“ ”相同，“ ”符号相反，因而“ ”是公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，而“ ”则是公式中的b．解：

总结升华：举一反三：

【变式】计算：1aa1a1a1

2

4



答案：

例2．计算（1）204×196 （2）59.8×60.2

思路点拨：平方差公式用于数的计算，（1）把204与196分别改写成；（2）把59.8与60.2改写成。

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解：

总结升华：

类型二：完全平方公式的应用

例3．计算（1）(2x－3)2 （2）2x5y2 （3）ab2

思路点拨：（1）把看做a，把看做b，可直接套用公式；（2），（3）中a、b符号处理方法之一：把两式分别变形为

2x5y2

＿＿＿＿＿2

＝＿＿＿＿＿＿；

ab2

（＿＿＿＿）2

＿＿＿＿，再用公式计算（反思得：

ab

2＿＿＿＿＿；ab2

＿＿＿＿＿）；方法二：把两式分别变形为：

2x5y

2

＿＿＿＿；ab2____b2

后直接用公式计算；方法三：把两

式分别变形为：2x5y2

2

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__________；ab_________后直接用公式计算。解：

总结升华：举一反三：

【变式】计算：(-a2+4b)2

分析：运用公式(a+b)2= 时，“ ”就是公式中的a，“ ”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“ ”是公式中的a，而“ ”就是公式中的b．解：

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类型三：注意创造条件使用公式

例4．判断(2＋1)(22＋1)(24＋1)……(22048＋1)的个位数字是几？

思路点拨：此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1＝和上式可构成循环。解：

总结升华：举一反三：

【变式1】计算(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)

思路点拨：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ ”、“ ”两项同号，“y”、“z”两项，因而，可运用的技巧使原式变形为符合公式的形式。解：

【变式2】计算19992-2000×1998

思路点拨：此题中2000= ，1998= ，正好符合。解：

类型四：公式的推广

例5．计算(2x+y-3)2

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思路点拨：计算多项式的平方，由(a+b)2= ，可推广得：(a+b+c)2= ．可叙述为：。解：

举一反三：

☆【变式】计算：xy2zxy6z 解：

类型五：公式的变换，灵活运用变形公式

例6．已知ab4，ab5，求a2

b2

的值。

思路点拨：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

1.ab2

2ab_________________

2.ab2

2ab_________________

3.ab2

ab2

________________

4.ab2

ab2

________________

解析：

总结升华：举一反三：

【变式1】已知a＋b＝2，ab＝1，求a2＋b2和(a－b)2的值。解：

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☆☆【变式2】已知实数x、y、z满足xy5，z

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xyy9，那么

x2y3z( )

解：

☆【变式3】已知x－y＝2，y－z＝2，x＋z＝14。求x2－z2的值。解：

类型六：乘法公式的逆运用

例7．计算(2a＋3b)2－2(2a＋3b)(5b－4a)＋(4a－5b)2

思路点拨：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用，则运算更为简便。解：

总结升华：举一反三：

【变式】计算(a－2b＋3c)2－(a＋2b－3c)2

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用，则能使运算简便得多．解：

类型七：同底数幂的除法运算

例1．下列运算是否正确？对错题指出原因，并加以改正。

(1)a6a2a

62

a3

(2)a5a5

a

(3)x6x3x3

(4)(x)4(x)2x2

(5)(ab)6(ba)3(ab)3

(6)(c)7(c5)c2

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思路点拨:

（1）指数相除，应为指数，而不是指数；（2） (对或错)在将指数相除,或误认为a0a：

（3）此题是不是，x与x不是，不能合并；（4）错在把幂的符号与底数的符号相混淆，或者在乘方改变底数符号时产生错误，6

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正确结果应为；

（5）______（对或错)在将不同底的幂当作的幂，或在不同底幂化成幂相乘时产生符号错误，应为。

（6）。解析：

总结升华：例2．计算：〔(a3)3(－a4)3〕2 ÷

(a2)3÷(a3)2 思路点拨：注意运算，运用运算法则化简。解析：

总结升华：举一反三：

【变式】(xy)2m1__________[(xy)2m1]3 答案：

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103y的值。例3．若5x－3y－2＝0，求105x÷

思路点拨：已知是一个方程，而要求的则是运算，联想到同底数幂相除的性质，可将除法运算转化成指数的运算，然后代入。注意不要企图求出__________的值后分别代入求值。解析：

总结升华：举一反三：

【变式1】已知xm＝8，xn＝5，求xm－

n

的值；

解析：

【变式2】若3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值

解析：

类型二：单项式除以单项式

例4．计算

（1）(a2n+2b3c)÷(2anb2) （2）(x－y)5÷(y－x)3 （3）(2x3y2)3÷(1xy)2

3

2

（4）(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)

思路点拨:（1）中被除式的系数是，可按照法则计算；（2）将底

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数多项式看作，先将底数调整为相同的，再进行的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后；对于混合运算，先弄清运算顺序，即先乘方，再自左至右进行法，再根据相应的法则进行计算解析：

总结升华：例5．已知：8a3bm ÷28anb2=2b2，求m、n的值

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思路点拨：等式左边变形为，右边为，由等式的性质知，从而可求出。解析：

总结升华：举一反三：

【变式】已知(－1xyz)2·m=1x2n+1yn+3z4÷5x2n－

1yn+1z，求m.

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解析：

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类型三：多项式除以单项式

例6．计算：

（1）[（xy2）2+3xy3·xy－2y2·（xy）2]÷xy3·y （2）[（x+y）3－2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y）思路点拨:

第（1）题应注意运算顺序，同级运算要按从的顺序依次进行．第（2）题应视为一个整体而看成是．解析：

总结升华： ☆例7．已知(15abn＋

2－9a2b2n)÷

(－3abm)＝－5b3＋3ab5，求(m＋n)2＋(n－m)2＋(n＋m)(n－m)的值。

思路点拨：等式左边展开为，根据等式的性质和多项式相等的条件知，。通过解关于m，n的方程组可解出的值，然后代值求解. 解：

举一反三：

【变式】已知多项式2a3－4a2－a除以一个多项式A，得到商式为2a，余式为a2－a，

求这个多项式. 解析：

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三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx22#221904

（一）计算时，要先观察题目特点是否符合的条件，若不符合，应先变形为符合的条件的形式，再利用进行计算，若不能变为符合的形式，则应运用进行计算。（二）进行混合运算时，不仅要注意正确应用，还要注意和运算律。

知识点：平方差与完全平方公式

测评系统分数：模拟考试系统分数：

如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#221904做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。

成果测评

现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。

自我反馈

学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。

我的收获

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习题整理

好题

错题

题目或题目出处

所属类型或知识点

分析及注意问题

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。

网○校○重○要○资○源 ○

知识导学：乘法公式（#221904）视听课堂：乘法公式 (#13959)

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对本知识的学案导学的使用率：

□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） □ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） □ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：家长：指导教师：

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