国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第41届)

2022-03-21 08:30:20 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第41届）

1. 圆Γ1和圆Γ2相交于点M和N．设l是圆Γ1和圆Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线．l与圆Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点B．设经过点M且与l平行的直线与圆Γ1还相交于点C，与圆Γ2还相交于点D．直线CA和DB相交于点E；直线AN和CD相交于点P；直线BN和CD相交于点Q．求证：EP=EQ．

2. 设a，b，c是正实数，且满足abc=1．求证： (a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1．

3. 设n≥2为正整数．开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点．对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种“移动”：

o (1) 选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和点B，且A位于B的左边； o (2) 令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C，使得BC/AB=λ．

试确定所有可能的正实数λ，使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边．

4. 一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100. 他把这一百张卡片放入三个盒子

里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的．每个盒子里至少都放入了一张卡片．一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和．知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子．

问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子）

5. 确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除．

6. 设AH1，BH2，CH3是锐角三角形ABC的三条高线．三角形ABC的内切圆与边BC， CA， AB分别相切于点T1， T2， T3，设直线l1，l2，l3分别是直线H2H3， H3H1， H1H2关于直线T2T3， T3 T1， T1T2的对称直线．

求证：l1，l2，l3所确定的三角形，其顶点都在三角形ABC的内切圆上．

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