国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第11届)

2022-03-21 08:30:22 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第11届）

1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数．

2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2n-1 cos(an + x)，其中 ai 是实数常量，x是实数变量．现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 π 的整数倍． 3. 对每一个k = 1， 2， 3， 4， 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1．

4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足．K1 是三角形ABC的内切圆，圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切．求证：圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公切线．

5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线．求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点．

6. 给定实数x1， x2， y1， y2， z1， z2，满足 x1 > 0， x2 > 0， x1y1 > z12， x2y2 > z22，求证：

8

(x1x2)(y1y2)(z1z2)

2

≤

1x1y1z1

2



1x2y2z2

2

并给出等号成立的充分必要条件．

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