国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第13届)

2022-03-21 08:30:21 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第13届）

1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证 En >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立．

2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1， A2， ... ， A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1， P2， ... ， P9 之中至少有两个具有一共同内点． 3. 求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质．

4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T．求证：

a. 如果 ∠DAB+∠BCD ≠ ∠CDA+∠ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小

值；

b. 如果 ∠DAB+∠BCD ＝ ∠CDA+∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们

的长度是 2AC sin(k/2)，其中 k=∠BAC+∠CAD+∠DAB．

5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长．

6. 设 A = (aij)，其中 i， j = 1， 2， ... ， n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数．若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于 n．求证：该方阵中所有元素之和大于或等于n2/2．

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