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纳什均衡的应用 1．考虑不对称的古诺双头垄断，市场反需求函数为p115Q，A企业生产的固定成本22为1000，B企业没有固定成本，A和B两个企业的可变成本分别为qa和qb。 （1）请写出A公司的古诺反应函数的表达式。 （2）请写出B公司的古诺反应函数的表达式。 （3）请求出纳什均衡时两个企业的产量和利润。 2．在贝特兰德模型中，假定每个企业的最大生产能力是K，单位生产成本为c＝10，需求为100，如果两个企业的价格相同，市场需求在二者之间平分；如果PiPj (i，j＝1，2，i≠j)，企业i产量为Min{100-Pi，K}，企业j的产量为Min[Max(0，100-Pi-K)，K](即只有低价企业不能满足需求时，高价企业才生产，并且产量不超过生产能力)。 (1)求企业的得益函数； (2)假定30，证明此博弈不存在纯策略纳什均衡。 3．考虑伯特兰德寡头模型。假设需求函数为
Pi(q1,q2)Max0,Mqibqj,(i,j1,2,ij)，
其中商品是部分可替代的，即0b1。
证明：两商品的替代性越高，厂商获得的利润越少。
4．若企业1的需求函数为q1(p1,p2)ap1p2，企业2的需求函数为
q2(p1,p2)ap2p1。
若假设两个企业的生产成本都为0，求纳什均衡。 5．如果在一条1千米长的长街上均匀居住着许多居民，有两个人同时想在该厂街开便利店。 （1）如果假设所有居民都是到最近的便利店购买商品，问这两个人会如何选择店面位置？ （2）如果每户居民仍然到离得最近的便利店购买，但购买数量与他们到便利店的距离有关，如Q=1-D，其中D是购买量，D是居民到便利店的距离，此时两个人会怎样选择店面的位置？
6．假设两国间通过税收优惠吸引资本进入。两国之间在税收制度上的差别不仅体现在税率的高低不同，而征收管理情况也有差异，如A国纳税程序简便，而B国可能相对要复杂一些。这样，在资本的流向上，A、B两国具有很强的替代性，但不是完全可替代，即税率不同时，税率较高的不完全失去资本。当A、B两国的税率分别为t1和t2时，它们各自的资本需求函数为q1(t1，t2)＝a1-b1t1+d1t2，q2(t1，t2)＝a2-b2t2+d2t1，其中d1，d2>0，即两国税收的替代系数。假定两国是同时决策，征税的边际成本为c1，c2>0，无固定成本。试求解该博弈问题的纳什均衡。 7．五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益v是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N；如果NN，收益vv(N)50N；如果NN时，v(N)0。再假设每只鸭子的成本为c＝2元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
8．一群渔夫在一个特定有限的区域内集体作业。该区域捕鱼的回报依赖于整体的总作业时
间。因此，令hi表示每个渔夫i=1，2，„，n的工作小时数，H
hH≡∑
ii1
n
ni
=1hi表示群
体的总工作小时数。假定每个人每小时的回报由关于H的凹函数(H)给定，且
H
lim(H)0。
另一方面，每个工人i每小时的个人成本(或无效)由某个关于hi的函数cc(hi)确定，
假定该函数对每个个体都一样。同时还假设c(·)是凸的、递增的，满足对某个给定的T≢24，limc(hi)。每个渔夫i的得益由函数Ui(·)给出，该函数定义如下：
hiT
Ui(h1,,hn)(H)hic(hi) (i=1,2,,n)
（1）陈述计划者要解决的最优化问题，他的目标是最大化个人效用的总和，并且描述解的性质。
（2）准确的计算策略式博弈，其中渔夫独立决定他们的工作时间。描述它的纳什均衡特性，并且画出与计划者问题的解的比较图。
9．假如小张和小红边看电视剧边吃爆玉米花。设他们吃爆玉米花的速度为ri。每人的效用函数决定于吃的饱玉米花的数量和吃的时间（等于
Qi
），效用函数为 ri
UiQi(
Qi
100)2 ri
效用函数第二项表示吃爆玉米花的总时间是100分钟（电视剧长100分钟）。
（1）假如给每个人的钵里放1800颗爆玉米花。求最优消费速度和达到的最大效用。 （2）现在假设有3600颗爆玉米花放在一共用的钵里，小张或小红吃的爆玉米花的数量与他们吃的速度成比例。因此，Qi
ri
3600。请把他们每人的得益表示成rzhang和
rzhangrhong
rhong的函数，并求此博弈的纳什均衡和每个人的效用。
（3）（2）中找到的均衡哪个是“公共地的悲剧”的最好例子？
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2023-02-16
