复合函数相关性质和经典例题

2022-04-09 05:30:10 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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定义由函数yf(u)和ug(x)所构成的函数yf[g(x)]称为复合函数，其中

yf(u)通常称为外层函数，ug(x)称为内层函数。

求上述复合函数yf[g(x)]的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行：（1）写出构成原复合函数的外层函数yf(u)和内层函数ug(x)；（2）求外层函数yf(u)的单调区间（包括增区间和减区间）A、B等；（3）令内层函数ug(x)A，求出x的取值范围M；

（4）若集合M是内层函数ug(x)的一个单调区间，则M便是原复合函数若M不是内层函数ug(x)的一个单调区间，则需把M划yf[g(x)]的一个单调区间；

分成内层函数ug(x)的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数

yf[g(x)]的单调区间；

（5）根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数yf[g(x)]在集合

M或这些单调子区间的增减性；

（6）令内层函数ug(x)B，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数yf(u)还有更多的单调区间C、D，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。（7）设单调函数yf(x)为外层函数，yg(x)为内层函数（8） (1) 若yf(x)增，yg(x)增，则yf(g(x))增. （9） (2) 若yf(x)增，yg(x)减，则yf(g(x))减. （10） (3) 若yf(x)减，yg(x)减，则yf(g(x))增. （11） (4) 若yf(x)减，yg(x)增，则yf(g(x))减. （12）结论：同曾异减（13）例1. 求函数f(x)2x（14）解题过程：（15）外层函数：y2

2

（16）内层函数：txx2

2

x2

的单调区间.

t

1

（17）内层函数的单调增区间：x[,]

2

1

（18）内层函数的单调减区间：x[,]

2

（19）由于外层函数为增函数

y

1

（20）所以，复合函数的增区间为：x[,]

21

（21）复合函数的减区间为： x[,]

22

（22）求函数ylog1(32xx)的单调区间.

2



12

x

2

（23）解原函数是由外层函数ylog1u和内层函数u32xx复合而成的；

2

（24）易知(0,)是外层函数ylog1u的单调减区间；

2

2

（25）令u32xx0，解得x的取值范围为(3,1)；（26）解题过程：

（27）外层函数：ylog2t

（28）内层函数：tx2x2 （29） tx2x20 （30）由图知：

（31）内层函数的单调增区间：x[1,] （32）内层函数的单调减区间：x[,2] （33）由于外层函数为增函数

（34）所以，复合函数的增区间为：x[1,] （35）复合函数的减区间为：x[,2]

y

2



o

1

u32xx2

x

结合二次函数的图象可知(3,1)不是内层函数

的一个单调区间，但可以把区间(3,1)划分成内层函数的两个单调子区间(3,1]和

[1,1)，其中(3,1]是其单调增区间，[1,1)是其单调减区间；

于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，(3,1]是原函数的单调减区间，

[1,1)是原函数的单调增区间。

例2.求函数f(x)log2(x2x2)的单调区间.

解题过程：

外层函数：ylog2t

2

内层函数：txx2

y

tx2x20

由图知：

内层函数的单调增区间：x[1,] 内层函数的单调减区间：x[,2] 由于外层函数为增函数

所以，复合函数的增区间为：x[1,] 复合函数的减区间为：x[,2]

2



o

1

x

本文来源：https://www.dywdw.cn/599b85a0d3d233d4b14e852458fb770bf78a3b66.html