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《二项式定理》教学设计与思考 一、教学目标 1. 知识与技能 （1）能利用组合数的方法证明二项式定理; （2）理解并掌握二项式定理，并能简单应用. 2. 过程与方法 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力以及化归意识与知识迁移能力，体会从简单到复杂的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳. 3. 情感、态度与价值观 培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，感受史. 二、教学重点、难点 重点：探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程，并由此得到二项式定理. 难点：1. 展开式中的项的特点;2. 展开式中各项系数的确定. 三、教学设想 为了突破难点、突出重点，我采用化归的思想将二项式展开过程化归到熟悉的（a+b）2，（a+b）3，设计展开（a+b）4，进而探究（a+b）10，引出课题，启发引导学生采用分组合作探究的形式分析、解决问题. 四、教学过程设计 1. 数学史 屏幕展示科学家牛顿，陈述二项式定理是他在数学史上的第一个发现，引出课题. 2. 创设情境 设计问题串，创设情境，引出二项式定理的推导过程. 问题1：大家可能会问，二项式定理是用来研究什么的？ 二项式定理就是用来研究（a+b）n（n∈N*）是如何展开的. 问题2：（a+b）2等于什么？ 问题3：快速计算（a+b）3，并回答你是用什么方法得到的. 问题4：用同样的方法可以快速展开（a+b）10吗？ 我们要展开（a+b）10就须要知道（a+b）9，要展开（a+b）9就须要知道（a+b）8 …… 这个过程是相当复杂的，那么我们就来研究怎样能够更快地展开（a+b）n.现在如果你是牛顿，你会怎么想（应该从这里面寻找一个规律）？ 引出寻找一个新的方法，快速展开（a+b）n，保证后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法准确、快速地得到答案. 3. 教授新课 寻找规律。请大家思考一下：第一，我们从什么地方开始寻找规律？第二，这个展开式虽然很复杂，但是只要我们能够抓住几个关键环节就可以把展开式轻松展开，那么，这几个关键环节是什么？ 我们要找一个规律，这个规律肯定是n∈N*，只要在这个范围内什么样的式子都成立.所以我们可以从简单的式子入手，以此类推.第二，虽然展开的式子很复杂，但是只要我们抓住这几条：（1）展开后有多少项;（2）各单项式的形式;（3）各单项式的系数. 这节课我们将从这三个方面来重点研究问题.首先，让我们对（a+b）2的展开式的形成过程重新进行分析. 2ab这一项是ab与ba合并同类项之后形成的.接下来，用新的思想重新考虑系数2是怎样形成的，引出应该从ab这一项是怎样形成的去考虑.ab这一项的形成可以看做：从这两个因式中选择一个因式，让其中一个出现a，另一个出现b. 对于一个因式来说，它里面要么出现a，要么出现b，且只能出现一个. 因此，出现a了就不能出现b;出现b了就不能出现a .事实上，以谁为研究对象都可以，在这里，我们不妨以b为研究对象，所以引出二项式定理从始至终以b作为研究对象. 接着分析ab这一项，ab可以看做是从两个因式中选出一个因式出现b，有C21种可能性，剩下的因式自然就出现a，则只有一种可能，因此我们始终以b为研究对象，就得到了2ab.接下来用同样的思想来探索a2，可以看做从两个因式中选0个因式出现b。因此，对它来说应该是C20a2;最后一项，从两个因式中选出2个，让它们都出现b，就有了C22b2这一项. 如此，我们用组合数的方法重新定义了我们所认识的（a+b）2，那么接下来再用同样的方法探索一下（a+b）3具体会出现哪些项（按b的升幂的顺序写出每一项），每一项的形成过程是什么（请学生回答）.强调在以b为研究对象的前提下，在每一项的形成过程中产生了相应项的系数，而系数是用组合数定义的，这是我们最关心的.根据刚才的规律，可以快速推出（a+b）4，利用组合数的思想写出系数C40、C41、C42、C43、C44. 现在，以（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4作为最基本的研究对象，你 本文来源：https://www.dywdw.cn/63704462a0c7aa00b52acfc789eb172ded6399ed.html
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2023-01-08
