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《二项式定理》教学设计 教材北师大版选修2-3第一章第5节 一、教学目标 1.知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式． 3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨． 二、教学重点、难点 重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理． 难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 （一）提出问题，引入课题 创设问题情境： 今天是星期三，7天后星期几，15天后星期几，8100天后星期几呢？ 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几， 【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题. 第一步：让学生展开 (ab)1ab (ab)2a22abb2； (ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3； (ab)4？ (ab)5？ 那么(ab)n的展开式是什么？ （二）引导探究，发现规律 探究1：不运算(ab)2，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）： (1) 合并同类项之前展开式有多少项？ (2) 展开式中有哪些不同的项？ (3) 各项的系数为多少？ 探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)3的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依． 探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式． (三) 形成定理，说理证明 探究4：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式． 0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二项式定理 证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)(k0,1,n)的形式，选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cnk，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理． 【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式． (四) 熟悉定理，简单应用 二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式） 1. 项数：共有n１项. 2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n． 各项的次数都等于n． 012knk,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn式系数. knkkab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示. 4. 二项展开式的通项: 式中的Cnknkkab 即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cn例1. 求(12x)5的展开式. 变式训练：求 (1-2x)5 展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数。 思考探究：求(1x)n的展开式，在展开式中如果令x1可以得到什么结果，其意义是什么？ 课堂练习：1.写出(pq)7的展开式 2.求(2a3b)6展开式的第三项 3.在(x1)10的展开式中第6项的系数为（ ） 6655 A.C10 B.C10 C.C10 D.C10 【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力． (五) 课堂小结，课后作业 小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想） 0n1n1knkknnaCnabCnabCnb(nN*) 1. 公式： (ab)nCn2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业 本文来源：https://www.dywdw.cn/953f0e2a158884868762caaedd3383c4bb4cb42b.html
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2023-01-08
