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第六讲 容斥原理 1、基本数量关系 （1）nAnBnAB ，当两个计数部分有重复时，为了不重复的计数，应从他们的和中减去重复部分。 （2）（nAnBnC）（nAB+nBC+nCA）+nABC，如果采用三种不同的标准分类，性质A的事物有nA个，性质B的事物有nB个，性质C的事物有nC个。物体的总个数表现为上面的关系式。 2、两量重复。 例：一个班有学生48人，每人至少参加乒乓球、游泳两项运动中的一项。已知参加乒乓球运动的有37人，参加游泳运动的有40人，那么，两项运动都参加的学生有多少人？ 把参加乒乓球运动的人数用A表示，参加游泳运动的人数用B表示，则A和B的公共部分就是两项运动都参加的人。 据数量关系式（1）：37＋40－48＝29（人） 答：都参加的有29人。 练：五年级有100名学生，他们至少爱好美术和科技中的一项，有43人爱好美术，20人既爱好美术又爱好科技，那么，爱好科技的有多少人？只爱好科技的有多少人？ 43－20＝23（人）„„只爱美术的 100－23＝77（人）„„爱好科技的 77－20＝57（人）„„只爱好科技的 答：爱好科技的有77人，只爱好科技的有57人。 讲与练：某班有40名同学在做语文和数学作业，下课时，其中26人做完了语文作业，18人做完了数学作业，5人两门作业都做完了。那么，两门作业都没有做完的有多少人？ 26＋18＝44（人）„„两门都做完和至少一门做完的 44－5＝39（人）„„至少做完一门的 40－39＝1（人）„„两门都没有完成的 答：两门作业也都没有完成的有1人。 3、三量重复。 例：一小学的318名学生到“儿童乐园”活动,其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐碰碰车的有130人，既参加划船又参加碰碰车的有74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。问：三种活动都参加的有多少人？ 据数量关系（2）可知：划船人数＋飞机人数＋碰碰车人数－划车人数－船机人数－机车人数＋船机车人数＝总人数。 所以：318－（156＋196＋130－74－80－40）＝318－288＝30（人） 答：三种活动都参加的有30人。 练：某班50名学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏，已知：34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手中有蓝旗，15人手中有红黄两种旗，10容纳手中有黄蓝两种旗，9人手中有红蓝两种旗，求手中有红黄蓝三种旗的有多少人？ 50－（34＋26＋18－15－10－9）＝50－44＝6（人） 答：手中有红黄蓝三种旗的有6人。 五年级上期奥数练习六 1、某班学生共50人参加体育测试，第一次测试有26人达到优秀，第二次测试有28人达到优秀，两次测试都达到优秀的有21人，两次测试都没有达到优秀的有多少人？ 26＋28－21＝33（人）„„只有一次达到优秀的人 50－33＝17（人） 答：两次测试都没有达到优秀的有17人。 2、某地区有100个外语教师，每人至少懂英语和日语中的一种语言，已知懂英语的有75人，懂日语的有45人，问：只懂英语的教师有多少人？ 75＋45－100＝20（人）„„两门都懂的 75－20＝55（人） 答：只懂英语的教师有55人。 3、三个圆的面积分别是：24平方厘米、26平方厘米、30平方厘米，他们两量重叠放在桌上，盖住桌面的面积是48平方厘米。（如图），三张圆纸片共同重叠的面积是8平方厘米，求阴影部分的面积是多少？ 34＋24＋26－48＝80－48＝32（平方厘米） 32－8×2＝32－16＝16（平方厘米） 答：阴影部分面积是16平方厘米。 4、某小学五年级的课外组分为：数学、语文、外语三种，参加数学的有23人，参加语文的有27人，参加外语的有18人，其中，同时参加数学和语文的有4人，同时参加数学外语的有7人，同时参加语文外语的有5人，三个小组都参加的有2人，求这个年级参加课外小组活动的共有多少人？ 23＋27＋18－4－7－5＋2 ＝68－（4＋7＋5）＋2 ＝54（人） 答：总共有54人。 本文来源：https://www.dywdw.cn/705f52b9bad528ea81c758f5f61fb7360b4c2b03.html
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2023-03-21
