用容斥原理也可以推出错排公式

2022-04-16 07:50:07 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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错排公式编辑

问题：十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。目录

1递推的推导错排公式 2容斥原理 3简化公式

1递推的推导错排公式编辑

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推. 第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] 特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

下面通过这个递推关系推导通项公式：

为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n, 则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2) 即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)

于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!. 因此

N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!, N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!. 相加，可得

N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n! 因此

D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!]. 此即错排公式。

2容斥原理编辑

用容斥原理也可以推出错排公式：

正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!, 即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].

其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。

3简化公式编辑

错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n!)，当n很大时计算就很不方便。一个供参考的简化后的公式是D(n) = [n!/e+0.5] ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分。证明：

由于1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n! + Rn(-1), 其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0). 所以，D(n) = n! * e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).

而|n! Rn| = |(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1时，该余项（的绝对值）也小于1/2。

因此，无论n! Rn是正是负，n! / e + 1/2的整数部分都一定与M(n)相同。对于比较小的n，结果及简单解释是：

D(0) = 1（所有的元素都放回原位、没有摆错的情况） D(1) = 0（只剩下一个元素，无论如何也不可能摆错） D(2) = 1（两者互换位置）

D(3) = 2（ABC变成BCA或CAB） D(4) = 9 D(5) = 44 D(6) = 265 D(7) = 1854 D(8) = 14833 D(9) = 133496 D(10) = 1334961

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