椭圆的经典知识总结

2023-01-09 13:08:18 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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椭圆知识总结班级姓名

椭圆的定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PF1PF2F1F2)，则动点P的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x2

a2



222

y2

(ab0)，其中cab 1

b2

22

②椭圆xy1(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

22

ab

A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,b)

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a,B1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：

①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2cc。

2a

a

②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1，则c就越接近a，从而ba2c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab时，c0，这时两个焦点

22

为圆，方程为x2y2a。注意椭圆xy1的图像中线段的几何

22

接近于a，这重合，图形变特征（如下

2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y2x2

a2

b2

，其中c

1(ab0)

2

ab

22

；

注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有(ab0)和cab；

3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时椭圆的焦点坐标为(c,0)，(c,0)；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,c)

xy

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：1(ab0)的简单几何性质 22

ab

2

2

ab

图）：

（1）(PF

2

2

2

1

PF22a)；

PF1PM1



PF2PM2

；

e

(PM1PM2

2a2； )c

（2）(BF1BF2a)；(OF1OF2c)；A1BA2Ba2b2；（3）A1F1A2F2ac；A1F2A2F1ac； acPF1ac；知识点四：椭圆x

a

22



与 y2x21(ay21b2a2b2

x2y2 1

a2b2

b0)的区别和联系

（1）对称性：对于椭圆标准方程x

a

22



y

1(ab0)： b2

y2

1b2

2

标准方程

(ab0)

y2x2

1 (ab0) a2b2

说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、原方程都不变，所以椭圆x2y同时换成x、y、

a

2

图形

焦点性质

范围

xa，

是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa，yb。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

F1(c,0)，F2(c,0)

F1F22c

F1(0,c)，F2(0,c)

焦距

F1F22c

xb，ya

yb

页脚内容

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对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

(a,0)，(0,b)

(0,a)，(b,0)

方程Ax2By2C可化为Ax

C

2



By2

1C

，即

x2By2

1CCAB

，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程

轴长长轴长=2a，短轴长=2b 离心率 e

表示椭圆。当C

A



C时，椭圆的焦点在x

B

轴上；当CC时，椭圆的焦点在y轴上。

A

B

c

(0e1) a

a2 y

c

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆x2

y21(a22ab

准线方程

a2

x

c

22

y2x2

注意：椭圆xy1，221(ab0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有(ab0)

22

abab

和ec(0e1)，a2b2c2；

a

b0)共焦点的椭圆方程可设为

x2y22

21(mb)，此2

ambm

类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PFF（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

1

2

不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2．椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大

小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

思路分析：与焦点三角形△PFF有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股

1

2

定理）、三角形面积公式SPF1F2

1

PF1PF2sinF1PF2相结合的方法进行计算解题。 2

将有关线段PF有关角F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来，建立PFPF2、F1F2，1、1PF2、

PF1PF2之间的关系.

9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e

(ab0)，(ac0)，且(a2b2c2)。可借助右图理解记忆：显然：a,b,c恰构成一个直角

三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x，y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程AxByC(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

2

2

c222

(0e1)，因为cab，ac0，a

22

用a、b表示为e1()(0e1)。显然：当

ba

2

b

越小时，e(0e1)越大，椭圆形状越扁；当a

b

越大，e(0e1)越小，椭圆形状越趋近于圆。 a

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