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2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 一、课题介绍 选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社B版)《必修4》第二章第三节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义. 二、教材分析 (一) 本节在教材中的地位和作用 向量数量积的物理背景与定义,包括数量积的定义、性质。它是继向量的加法,减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算,是前面知识的延续,又是学好后续知识的基础,起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此,我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时. (二) 目标分析 1、知识与技能目标 (1)理解向量数量积、正射影的定义。 (2)掌握向量数量积的性质。 (3)了解用向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 2、过程与方法目标 通过对向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练,进而培养学生的探究能力和创新的精神. 3、情感态度与价值观目标 通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐,体会各学科之间是密不可分的,培养学生思考问题时认真严谨的学习态度。 (三) 教学的重点与难点 重点:向量数量积的定义、几何意义及其性质. 难点:向量数量积性质的探究. 三、教法分析 由物理背景出发,介绍数量积的概念,教学中采用提出问题,引导学生通过观察、类比的方式,由学生探索推导数量积的性质,进而结合例题运用性质加强理解. 四、学法分析 1 根据新课程标准理念,学生是学习的主体,教师只是学习的帮助者,引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律,在自己的发现中学到知识,提高能力,因此,我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳,采用自主探究的方法进行学习,并使学生从中体会学习的兴趣. 2 五、教学过程 教学 教学内容 环节 在物理学的师生互动 设计意图 物理背景引入课堂 1.向量数量乘积的物理背景 激趣引入,课件展示,背景下,由旧问题:如果一个物体在力F的作用下产生的位学生观察后并回答 移为s,那么力F所做的功w等于多少?等式教师提出的问题 两端分别为什么量,是什么影响力所做功的大 小,在数学上如何明确定义? 的关系 2.两个向量的夹角 已知两个非零向量a、b,OA=a,OB= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作〈a ,b〉 并规定0≤〈a ,b〉≤ 几点说明: 示,帮助学生加深理(1)求两向量的夹角,需使向量共起点. (2)范围0≤〈a ,b〉≤. (3)〈a ,b〉=〈b ,a〉 解和认识 打好基础。 让学生体会数学的概括性,严谨性和可操作性 量积的定义通过实物(圆规)演学习向量数借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解,为具体到一般知识,体会从知识引出新定义形成 (4) a、b同向时〈a ,b〉=0 a、b反向时,〈a ,b〉= a ⊥b时,〈a ,b〉= 2教师由使小车产生位移的有效作用力引出正射影的概念 (5)规定:零向量与任意向量垂直. 3.向量在轴上的正射影 (1)概念: 已知向量a和轴l,作OA=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则 向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影. (2)正射影的数量: 3 学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提 正射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量. 记作: al 在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。 高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。 向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ, 则有alacos 由于学生已有知识基础,学生自己总结,正射影的数量可正、可负、可为零,多媒体展示结果,学生整理。 通过实战,检验学生1a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量,不是向量. 当为锐角时为正值; 当为钝角时为负值; 当为直角时为0; 已知:轴l )OA5,(1OA,l60, OA在l上的正射影的数量OA求 1(2)OB5,OB,l120, 求OB在l上的正射影的数量OB的掌握情况 (3)已知向量a,b,a4,a,b60, 1. 向量的数量积(内积) 定义:abcosa,b叫做向量a和b的数量积(或内积) 学生讨论后总结向量记作:a·b 数量积的符号情况, 即 a·b = abcosa,b 概 念 深 化 概念讲解: 1.数量积a·b等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积. 师生共同探索: 问题1:在教师的提示下,学生根据多媒体展示的图形,比较数随着问题的解决进一步加深学生对新概念的理结概括能力 教师给出向量数量积的概念,并加以强调 培养学生总则向量a在向量b上的正射影的数量 4 量积和正射影的公式,自己总结出向量数量积的几何意义 解与掌握.同时对易错点加以强调 两个向量的数 2.两个向量的数量积是一个实数,符号问题2:由cos〈a,b〉的符号所决定;而数乘量积与数乘向量运算 向量是一个向量。 3.两个向量的数量积的性质: 设为两个非零向量, 1) ab ab = 0 2) a、b同向时a·b=|a||b|反向时结果有什么区别? 问题3:两个向量的数量积的性质 教师板书给出数量积性质的前半部分学生 a·b=-|a||b|,特别的aa = |a|2或讨论给出结果,多媒|a|aa 3) |ab| ≤ |a||b| 4) cos =体展示,学生整理,教师强调数量积性质的应用 ab |a||b| 判断正误,并简要说明理由。(1)a00(2)0a0(4)abab(3)0BAAB小试身手,通过6个有关数量积性质的抢答题,让学生分组抢答,使他们积极参与到课堂中来,体会成功的喜悦,培养竞争意识 学生板演并讲解,锻炼其胆识 通过练习,进一步巩固所学知识 进一步加深对数量积的理解 加深理解 (5)若a0,则对任一非零向量b有ab0(6)若ab0,则a,b中至少有一个为0(7)对任意向量a,b,c都有(ab)ca(bc)(8)若a,b是两个单位向量,则acbc例1:已知a=5,b=4,〈a,b〉=120,求a·b 应 用 举 例 例2: 教师多媒体展示,强在ABC中,a8,b7,C60,求BCCA 调易错点 例3:已知:ab18,a6,b4, 灵活应用公式,培养学生创新意识 5 求cosa,b。 学生由理论(1)a2,b7,30,ab(2)a10,b15,45,ab到实际操作,通过身临其境的感受,使学生进一步灵活运用公式 逐步熟悉、深入理解例题类型,进一步巩固所学知识 回忆所学,加深印象,让学生体会参与其中的快乐巩固练习 (3)a8,b15,135,ab(4)ab32,a9,b4,求cosa,b(5)在ABC中,a4,b9,C30,求BCCA课堂 小结 数学的严谨性,培养学生思考能力和习惯, 布置教材P109A组 作业 六、教学反思 通过对本课题的学习过程,例题和习题的完成情况,在老师巡视和提问中及时发现问题,纠正学生出现的错误,促进学生知识的正迁移,提高学生的学习效率;根据对学生的学习情绪、学习效果及时进行评价,结合评价结果的反馈,及时调整学习过程、教学方法。 总之,我的教学宗旨是让学生获得有价值的数学,让学生学到必须的数学,让学生在数学上得到不同方向的发展。 学生总结,教师完善 进一步体会 6 7 本文来源:https://www.dywdw.cn/cf50dbd0f9b069dc5022aaea998fcc22bcd14339.html