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（5）勾股数组的规律 222满足不定方程a+b=c的三个正整数称为勾股数组。 古巴比伦公元前2000年左右就发现了很多勾股数组。成书于西汉时期的《周髀算经》中记载的(3，4，5)无疑是中国数学史上发现最早的一组勾股数组。公元一世纪，我国古代数学著作《九章算术》中对于具体的数据（如勾股和、弦长等）给出了求勾股弦三个数的具体算法。有人推测，九章算术已经给出了勾股数的一般规律：若给了两个数m、n，则121(mn2)、mn、(m2n2)就是一组勾股数，刘徽更明确了所有的勾股数组的比率满22足这一规律，但从文字看还只是具体数据的，尚不能明确。 公元前6世纪毕达哥拉斯学派发现：任取一个奇数，把它的平方数分为相差1的两个数，m21m21那么这三个数就是勾股数. 若m为大于1的奇数，则（m，，）便是一组勾股22数组。因此，国外人们习惯把勾股数组叫做毕达哥拉斯三元数组。 欧几里得也曾给出求勾股数组的方法：m、n是整数，（m2n2,2mn,m2n2）是一组勾股数。 实际上，可以证明：在三个数互质的情况下，勾股数组都可以写成（m2n2,2mn,m2n2）的形式，或者说勾股数组都可以写成（k(m2n2),2kmn,k(m2n2)）的形式。 ◎勾股数组的规律，可能真是一个“下金蛋的母鸡” 勾股数组的规律，太复杂了，学生哪能探究？ 是的，学生要完全探究出这些规律确实困难，但也许学生探究的过程中会有很多收获哟。 当年，被称为“业余数学家之王”的法国数学家费马，在阅读丢番图的《算术》一书中“分一个给定的平方数为两个平方数的和”这个问题时，写下了著名的旁注：“一个立方数不可能分解成两个立方数的和，一个四次方数不能分解成两个四次方数的和，一般地说，大于2的任意次幂的数都不能分解为两个同次幂的数的和。我找到了这个命题的一个真正奇妙的证明，但书上空白的地方太窄，写不下。”这段话用现在的数学语言来叙述就是：对于n>2的整数，不定方程x＋y＝z没有正整数解，这就是著名的费马大猜想。 其后许多优秀数学家为了证明这一猜想作出了巨大的努力，其间他们开拓了不少新的数学领域,促进了数学科学的发展，难怪德国著名数学家希尔伯特称费马大猜想是个“生金蛋的母鸡”。由于费马大猜想迟迟没有得到证明，1850年和1853年，法兰西科学院两次悬赏200金法郎，征求对费马大猜想的证明。1907年德国数学家弗尔夫斯克通过哥廷根科学院以10万马克的重奖，悬赏第一个证明费马大猜想的人。直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才最终证明了费马大定理。 从勾股数组到费马大定理，只不过是将问题换一个角度看，却提出了一个影响深远的定理，从而不断推动数学的发展。 因此，我们可不能轻易地忽视这些问题的价值，也许它就是一个“下金蛋的母鸡”。 勾股数组，对学生而言，太过复杂，但其中有一些简单的规律学生并不是都不能发现呀！ 例如，这里面是不是一定有偶数，一定有3的倍数，一定有5的倍数，有几个偶数等，给学生大量的勾股数组作为素材，给学生较长的时间和空间，相信学生会给你一些惊喜，当然，nnn你别指望学生能完全得到终结性的规律，但这比教师提供给学生一个终结性的规律价值大得多！ 本文来源：https://www.dywdw.cn/d2f58ff851e79b89680226e1.html
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2023-03-02
