函数的奇偶性典型例题

2022-03-21 00:23:13 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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课题：函数的奇偶性（一）主要知识：

设yf(x)，xA，如果对于任意xA，都有f(x)f(x)，1.函数的奇偶性的定义：

则称函数yf(x)为奇函数；如果对于任意xA，都有f(x)f(x)，则称函数

yf(x)为偶函数；

2.奇偶函数的性质：

1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； 2f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称； f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称；

3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的

单调性.

3.f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)． 4.若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)0．

（二）主要方法：

1.判断函数的奇偶性的方法：

1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若

对称，则再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否定义域上的恒等式；

2图象法；

3性质法：①设

DD1

f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域

D2上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；

②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；

2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)f(x)0，

典型题型

f(x)

1． f(x)

问题1．判断下列各函数的奇偶性：

13

f(x)x21x21； 2f(x)f(x)lg(1x2x)； 4

； 2x2(x0)xxf(x)2

(x0)xx

12x

2

问题2．利用函数的奇偶性求解析式

已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(1

则f(x)的解析式为

3

x)，

问题3．利用定义判断抽象函数的奇偶性

1.已知函数f(x)满足：f(xy)f(xy)2f(x)f(y)对任意的实数x、y总成立，且f(1)f(2).求证：f(x)为偶函数.

2.已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

1求证：f(x)为奇函数；2若f(3)a，用a表示f(12).

问题4.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用．1已知f(x)是偶函数，xR，当x0时，f(x)为增函数，

若x10,x20，且|x1||x2|，则

A.f(x1)f(x2) B.f(x1)f(x2)

C.f(x1)f(x2) D. f(x1)f(x2)

2设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，

求实数m的取值范围

问题5：利用函数的奇偶性求值

已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数，若f(7)7，

7

5

3

则f(7)_______

问题6：数形结合

1设奇函数f(x)的定义域为5,5若当x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)0的解是

y

yf(x)

5

• • O 2 • x

问题7：已知函数的奇偶性求参数

ax21

1.已知函数f(x)（a、b、cZ）为奇函数，又f(1)2，f(2)3，

bxc

求a、b、c的值 .

xm

是奇函数，则常数m____,n_____

x2nx1

2

3.已知函数f(x)axbxc,x2a3,1是偶函数,则ab

2.定义在(1,1)上的函数f(x)

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