数学讲义：三角函数的基本关系

2023-03-15 00:02:23 第一文档网 [ 字体：小中大 ] [

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三角函数的基本关系

在上一节我们利用三角形两边长的比例关系，定义了六个锐角的三角函数：设△ABC为一直角三角形，其中C90，

AB为△ABC的斜边，AC为∠A的邻边， BC为∠A的对边，则

A的正弦sinAA的正切tanAA的正割secA

對邊BC鄰邊AC

 ❖A的餘弦cosA 斜邊AB斜邊AB對邊BC鄰邊AC

 A的餘切cotA

對邊BC鄰邊AC

斜邊AB斜邊AB

 A的餘割cscA 對邊BC鄰邊AC

此外，我们也可藉由定义推得六个三角函数间的关系，叙述如下：

(1)倒数关系： sincostan

1

sincsc1 csc

1

cossec1 sec

1

tancot1 cot

例题 1

试求sin40cos40tan40cot40sec40csc40 ❖设θ为锐角﹐求

练习 1 求

21

＝ 1 ＋

2＋tan2531＋2cot253

1111

＋＝＋＋

1＋sin1＋cos1＋sec1＋csc

(2)余角关系：为锐角

sincos90 cossin90 tancot90 cottan90 seccsc90 cscsec90

Q：求出下列锐角的値 cos56sin， ❖tan43cot， csc77sec，

1

例题 2

(1) sin2(60－θ)＋sin2(30＋θ) =

(2) cos40csc50＋csc228－tan262 =

(3)商数关系：

tan cot Q：设为锐角，且cos4sin，则tan

(4)平方关系：

 sin2cos2  

Q：sin240cos240 ❖tan220sec220 sin40cos40sin40cos40

2

2

例题 3

θ 是一个锐角已知sin θ－cos θ ＝，求sin θ 与cos θ 的值。

练习 3

θ 是一个锐角，已知sin θ ＋cos θ ＝

Ans：cos θ ＝

例题 4

设为锐角： 试证：tancot❖若tancot

17

，求sin θ 与cos θ 的值。 1315

512125时，sin θ ＝；cos θ ＝时，sin θ ＝ 13131313

1

seccsc

sincos

25

，试求下列各式之値： 12

(1)sincos (2)sincos (3)sincos (4)sin3cos3

练习 4

3

设为锐角，若sincos，试求下列各式之値：

5(1)sincos (2)tancot (3)sincos (4)sin3cos3

2

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