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专题复习:三角函数的综合应用题编 (推荐时间:70分钟) 1. 设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,3sin 2x),x∈R. ππ(1)若函数f(x)=1-3,且x∈-,,求x的值; 33(2)求函数y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 解 (1)依题设得f(x)=2cos2x+3sin 2x=1+cos 2x+3sin 2x=π2sin2x++1. 6ππ3由2sin2x++1=1-3,得sin2x+=-. 662∵-ππππ5π≤x≤,∴-≤2x+≤, 33266πππ=-,即x=-. 634πππ+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 262∴2x+(2)当-即-ππ+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,函数y=f(x)单调递增,即函数y=f(x)36ππ的单调增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z), 63x y 0 2 π 63 π 32 π 20 1 2π5π π 36-1 0 2 2. 已知向量a=(cos x+3sin x,3sin x),b=(cos x-3sin x,2cos x),函数f(x)=a·b-cos 2x. (1)求函数f(x)的值域; 1ππ(2)若f(θ)=,θ∈,,求sin 2θ的值. 563解 (1)f(x)=a·b-cos 2x =(cos x+3sin x)(cos x-3sin x)+3sin x·2cos x-cos 2x =cos2x-3sin2x+23sin xcos x-cos 2x =cos2x-sin2x-2sin2x+23sin xcos x-cos 2x =cos 2x+3sin 2x-1 π=2sin2x+-1, 6f(x)的值域为[-3,1]. π(2)由(1)知f(θ)=2sin2θ+-1, 6ππ31由题设2sin2θ+-1=,即sin2θ+=, 6655ππ5πππ∵θ∈,,∴2θ+∈,, 36626π4∴cos2θ+=-, 65πππππ∴sin 2θ=sin2θ+-=sin2θ+cos -cos2θ+sin 66666π 6334133+4=×--×=. 525210 2 13. 已知向量m=sin A,与n=(3,sin A+3cos A)共线,其中A是△ABC2的内角. (1)求角A的大小; (2)若BC=2,求△ABC面积S的最大值. 3解 (1)∵m∥n,∴sin A·(sin A+3cos A)-=0. 2∴即1-cos 2A33+sin 2A-=0, 22231sin 2A-cos 2A=1, 22π即sin2A-=1. 6∵A∈(0,π),∴2A-故2A-ππ11π. ∈-,666πππ=,A=. 623(2)∵BC=2,由余弦定理得b2+c2-bc=4, 又b2+c2≥2bc,∴bc≤4(当且仅当b=c时等号成立), 133从而S△ABC=bcsin A=bc≤×4=3. 244即△ABC面积S的最大值为3. cos A-3cos C3c-a4. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=. cos Bbsin C(1)求的值; sin A(2)若B为钝角,b=10,求a的取值范围. 解 (1)由正弦定理,设则3c-a=asin A=bsin B=csin C=k, b3ksin C-ksin A3sin C-sin A=, ksin Bsin B所以cos A-3cos C3sin C-sin A=, cos Bsin B 3 即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B, 化简可得sin(A+B)=3sin(B+C). 又A+B+C=π,所以sin C=3sin A, sin C因此=3. sin A(2)由sin C=3得c=3a. sin Aa+c>b由题意知222a+c<b , 5又b=10,所以<a<10. 2ππ其中x∈R,A>0,ω>0,-<φ<的部分5. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)22图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)已知函数f(x)的图象上的三点M,N,P的横坐标分别为-1,1,5,求sin∠MNP的值. 解 (1)由图可知,A=1,最小正周期T=4×2=8. 由T=2ππ=8,得ω=. ω4πππ又f(1)=sin+φ=1,且-<φ<, 224所以πππ+φ=,解得φ=. 424ππ所以f(x)=sinx+. 44(2)因为f(-1)=0,f(1)=1, f(5)=sin5ππ+=-1, 44所以M(-1,0),N(1,1),P(5,-1). 4 所以|MN|=5,|PN|=20,|MP|=37. 由余弦定理得 cos∠MNP=5+20-373=-. 525×20因为∠MNP∈(0,π), 4所以sin∠MNP=. 56. 已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α<x<π. (1)若α=π,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值; 4π(2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan 2α的值. 3解 (1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=π, 4∴f(x)=b·c=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α=2sin xcos x+2(sin x+cos x). π令t=sin x+cos x<x<π,则2sin xcos x=t2-1,且-1<t<2. 4223则y=t+2t-1=t+-,-1<t<2, 222232∴t=-时,ymin=-,此时sin x+cos x=-, 222π2即2sinx+=-, 42∵πππ5<x<π,∴<x+<π, 4244π711π=π,∴x=. 4612∴x+311π∴函数f(x)的最小值为-,相应x的值为. 212 5 π(2)∵a与b的夹角为, 3∴cos πa·b==cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3|a|·|b|π. 3∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=∵a⊥c, ∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即sin2α++2sin 2α=0. 353∴sin 2α+cos 2α=0, 223∴tan 2α=-. 5 6 本文来源:https://www.dywdw.cn/efb48ec2561810a6f524ccbff121dd36a32dc4b2.html